Tema 3 Transformada de Laplace Jesus Daniel Ibarra Yepez

3.1.1 Definición de la transformada de LAPLACE

Las transformadas de Laplace fueron formuladas para transformar una ecuación diferencial que

contiene las diferenciales de una función indefinida, a partir de una ecuación t-espaciada

hacia una ecuación s-espaciada que puede ser resuelta con mucha facilidad.

También pueden ser utilizadas para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales.

Están dirigidas a una amplia gama de problemas de valor inicial. La transformada de Laplace

se denomina a veces transformada operacional; esto es porque transforma las operaciones de integración

en simples operaciones algebraicas que son mucho más convenientes de resolver. Después de la cual la

aplicación de la técnica de la transformada inversa produce la solución exacta para la ecuación diferencial dada.

 

3.1.2 Condiciones Suficientes De Existencia Para La Transformada De Laplace

Antes de establecer las condiciones para la existencia de la transformada de Laplace

 es esencial entender dos conceptos fundamentales que constituyen la base de la transformada de Laplace.

 Estos son: 1. Función continua a trozos: Se dice que una función es a trozoso seccionalmente continua  en un intervalo finito a <= t <= b si el intervalo se puede subdividir en un número  finito de subintervalos, en cada uno de los cuales f(t) es continua y tiene límites izquierdos, así como límites derechos.Considera una función f(t) que es continua a trozos en [a, b], pero presenta discontinuidades en algunos puntos.

 

 

 

 

3.2 Trasformada Directa

Uno de los algoritmos aritméticos más ampliamente utilizados es la transformada rápida de Fourier, un medio eficaz de ejecutar un cálculo matemático básico y de frecuente empleo.

La transformada rápida de Fourier es de importancia fundamental en el análisis matemático y ha sido objeto de numerosos estudios. La aparición de un algoritmo eficaz para esta

operación fue una piedra angular en la historia de la informática. Las aplicaciones de la transformada rápida de Fourier son múltiples.

Es la base de muchas operaciones fundamentales del procesamiento de señales, donde tiene amplia utilización.

Además, proporciona un medio oportuno para mejorar el rendimiento de los algoritmos para un conjunto de problemas aritméticos comunes. Si la transformada de Laplace de una función f(t) es F(s), esto es,

 

  Entonces f(t) se denomina la transformada inversa de Laplace de F(s) y se escribe como,

3.3 Transformada Inversa

Si la transformada de Laplace de una función f(t) es F(s), esto es

Entonces f(t) se denomina la transformada inversa de Laplace de F(s) y se escribe como,

 

Aquí L-1 es llamado el operador de la transformada inversa de Laplace.  Aunque existe una fórmula de inversión compleja la cual proporciona un medio directo para determinar la transformada inversa de Laplace de una función, esta implica un conocimiento amplio de la integración compleja.

 Sin embargo, no es posible encontrar una transformada inversa de Laplace de todas las funciones por este camino.

 Un punto interesante a destacar aquí es que la transformada inversa de Laplace de una función puede no ser única.

 Por ejemplo, sabemos que la transformada de Laplace de f(t) = 1 es 1/ s

Sin embargo, existe una función más para la que la transformada de Laplace resulta en el mismo término, esta es, f(t) = 1 si 0 < t < 3 −8 si t = 3 1 si t > 3

Por lo tanto, se puede concluir que la transformada inversa de Laplace de 1/s resulta para dos funciones como se describe anteriormente. Sin embargo, entre las dos, sólo f(t) = 1 es continua, por lo tanto, f(t) = 1 es la única función que tiene la transformada de Laplace como 1/ s. También es posible escribir una transformada inversa de Laplace en la forma de integración, la cual es llamada integral de Fourier Millen o integral Bromwich o fórmula inversa de Millen. Se trata de una integral de línea y es denotada como.}

 

 

 

3.4 FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO.

3.5 Teoremas de traslación

Cuando necesitemos encontrar la transforma de laplace del producto de la función exponencial e^at por una función f(t), sin usar la definición, podemos decir que la transformada es igual F(s-a) donde F(s) es la transformada de laplace de f(t) y F(s-a) implica sustituir por s a s-a en la tranformada F(s). A esto se le conoce como el primer teorema de traslación de la transformada de laplace, el cual en este video no solo mostramos como usarlo sino que también demostramos porque es cierto.

Cuando tengamos que hallar la transformada de Laplace de una función exponencial que multiplica a una función cualquiera f(t), vamos a decir que esta transformada es igual a transformar a f(t) de la siguiente manera: F(s)=L[f(t)] y sustituir a s en F(s) por s-a, matemáticamente estas palabras se expresan como L[(e^at)f(t)]=F(s-a) con F(s)= L[f(t)], esta manera de escribir la transformada de Laplace se conoce como el primer teorema de translación , otra forma de ver esto es: L[(e^at)f(t)]= L[f(t)]s→s-a. 

Veamos un ejemplo para que entendamos mejor como aplicar estas definiciones, supongamos entonces que nos piden hallar la transformada de Laplace para la siguiente función: L[(e^2t)(t^3)], entonces lo que nos dice el teorema es que debemos hallar la transformada de f(t) que en este caso es t^3 y luego reemplazar a s por s-a. En videos anteriores habíamos visto que la transformada de t^3 se puede hallar usando tablas de transformadas de Laplace que existen para funciones comunes tales como esta, vemos entonces que la transformada de Laplace para esta función es igual a: L[t^3]=3!/s^4, luego lo que nos dice el teorema es que cambiemos a s por s-a, realizando este procedimiento, tenemos entonces la transformada de Laplace para el problema que nos pidieron resolver es: L[(e^2t)(t^3)]= 3!/(s-2)^4, teniendo en cuenta que a es el coeficiente que acompaña a la t y que en este caso es dos. 

Observemos que este teorema nos permite ahorrar mucho tiempo ya que nos evita tener que usar la definición de la transformada de Laplace. En el video se muestra otro ejemplo de más complejidad y se muestra de manera detallada la demostración del teorema de translación a partir de la definición de transformada de Laplace vista en los videos anteriores.

3.6Transformada de funciones multiplicadas por tn, y divididas entre t

En este subtema y los siguientes se desarrollarán varias propiedades operacionales de la transformada de Laplace. En particular, se verá como hallar la transformada de una función f(t) que se multiplica por un monomio tn, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han encontrado hasta este momento: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integro diferenciales y ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la función de entrada es una función periódica definida por partes.

  Transformada de derivadas (teorema)

Al igual que en una función ordinaria, la transformada de Laplace también puede aplicarse al diferencial de una función. En tal situación, colocamos en la fórmula el diferencial de la función en el lugar de la función real para derivar la transformada de Laplace, que es,

 

Transformada de integrales (teorema) Hasta ahora hemos estudiado la forma de determinar la transformada de Laplace de una función dada.  Pero, como sabemos, existen varias operaciones que pueden realizarse en una determinada función.  Una de las principales operaciones entre ellas es la integración. Como sabemos, la integración de una función nos da otra función. Por lo tanto, es esencial saber si la técnica de la transformada de Laplace puede aplicarse a la integral de una función real.

La respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, hasta cierto punto.

La cláusula de “hasta cierto punto”, se añade aquí porque esto no es cierto para todas las integrales.

Existen ciertos pre-requisitos que deben ser verdaderos para obtener la transformada de Laplace de la integral de la función real.

La función real debe estar definida para la variable de tiempot, también la función debe ser definida de forma continua en el intervalo [0, ).

3.7 transforma dada de una derivada y derivada de una transformada

   En este caso, sabemos que la función (t) toma el valor de cero para todos los valores de t, excepto en t = 0. Esto implica que el valor de la función f(t) también se vuelve insignificante, excepto cuando el argumento tde la función se convierte en cero.

En tal situación, tenemos el valor del integrando f(0) (t), f(0)que puede tomarse fuera dado que se convierte en una constante, haciéndolo de esta manera obtenemos el lado derecho de la ecuación. Por lo tanto, podemos pensar en (t) dt como el operador funcional que saca el valor de la función cuando el argumento de la función es igual a cero. Otra forma popular de definir una función delta de Dirac es una medida, ya que la función delta de Dirac tiene como su argumento un subconjunto de los números realesS, es decir, S R. Aquí, el valor de S es cero cuando la salida de la función es uno o infinita y en otro caso, el subconjunto S puede tomar elementosinfinitos:

 Veamos ahora un ejemplo de la función delta de Dirac.

Resuelve y’ + 2y’ – 15y = 6 (t – 9) dados y(0) = −5 ey’(0) = 7

Aplicando la transformada de Laplace para la función dada obtenemos: s2Y(s) – sy(0) – y’(0) + 2(sY(s) – y(0)) – 15Y(s) = 6e-9s = (s2 + 2s – 15)Y(s) + 5s + 3 = 6e-9s

Resolviendo la ecuación anterior obtenemos, Y(s) = 6e-9s F(s) – G(s) Ahora haciendo uso de las fracciones parciales para obtener la transformada inversa de Laplace como,

F(s) = 1/ [(s + 5) (s – 3)] = [(1/ 8)/ (s – 3)] – [(1/ 8)/ (s + 5)] f(t) =

 (1/8) e3t - (1/8)e-5t G(s) = [5s + 3/(s + 5) (s – 3)] = [(9/4)/ (s – 3)] + [(11/4)/ (s + 5)] f(t) = (9/4) e3t - (11/4)e-5t

Por lo tanto, la solución es Y(s) = 6e-9s F(s) – G(s):

 

Esto implica que la función delta de Dirac no es una función real sino que es una distribución que se extiende por un intervalo definido para la función dada. También es llamada una función singular. Como tal, no existe una definición formal de esta función. Pero puede ser definida mediante utilizar la propiedad de la propia función, la cual es,

En términos simples, podemos decir que una función delta de Dirac es aquella cuya salida se calcula a cero para cada valor del argumento de entrada, excepto cuando el valor del argumento de la función en sí es igual a cero.

 Aquí el argumento de la función es un parámetro valorado real. La integral de la función en el rango de parámetros (- , ) es uno.

A la luz de la afirmación anterior, podemos concluir que esta es una función real desde el punto de vista matemático, ya que para cualquier función real cuyo valor es constante, excepto en un punto, el valor de la integral debe calcularse a cero, el cual no es este caso.

La gráfica de la función se vería algo así como:

En términos simples, podemos decir que una función delta de Dirac es aquella cuya salida se calcula a cero para cada valor del argumento de entrada, excepto cuando el valor del argumento de la función en sí es igual a cero. Aquí el argumento de la función es un parámetro valorado real. La integral de la función en el rango de parámetros (- , ) es uno.

A la luz de la afirmación anterior, podemos concluir que esta es una función real desde el punto de vista matemático, ya que para cualquier función real cuyo valor es constante, excepto en un punto, el valor de la integral debe calcularse a cero, el cual no es este caso. La gráfica de la función se vería algo así como:

En este caso, sabemos que la función (t) toma el valor de cero para todos los valores de t, excepto en t = 0.

Esto implica que el valor de la función f(t) también se vuelve insignificante, excepto cuando el argumento tde la función se convierte en cero. En tal situación, tenemos el valor del integrando f(0) (t), f(0)

que puede tomarse fuera dado que se convierte en una constante, haciéndolo de esta manera obtenemos el lado derecho de la ecuación.

Por lo tanto, podemos pensar en (t) dt como el operador funcional que saca el valor de la función cuando el argumento de la función es igual a cero.

 Otra forma popular de definir una función delta de Dirac es una medida, ya que la función delta de Dirac tiene como su argumento un subconjunto de los números realesS, es decir, S R.

Aquí, el valor de S es cero cuando la salida de la función es uno o infinita y en otro caso, el subconjunto S puede tomar elementosinfinitos. Veamos ahora un ejemplo de la función delta de Dirac.

Resuelve y’ + 2y’ – 15y = 6 (t – 9) dados y(0) = −5 ey’(0) = 7 Aplicando la transformada de Laplace para la función dada obtenemos,

s2Y(s) – sy(0) – y’(0) + 2(sY(s) – y(0)) – 15Y(s) = 6e-9s = (s2 + 2s – 15)Y(s) + 5s + 3 = 6e-9s

Resolviendo la ecuación anterior obtenemos, Y(s) = 6e-9s F(s) – G(s) Ahora haciendo uso de las fracciones parciales para obtener transformada inversa de Laplace como,

F(s) = 1/ [(s + 5) (s – 3)] = [(1/ 8)/ (s – 3)] – [(1/ 8)/ (s + 5)] f(t) = (1/8) e3t - (1/8)e-5t G(s) = [5s + 3/(s + 5) (s – 3)] = [(9/4)/ (s – 3)] + [(11/4)/ (s + 5)] f(t) = (9/4) e3t - (11/4)e-5t

Por lo tanto, la solución es Y(s) = 6e-9s F(s) – G(s)

 

 

3.8 TEOREMA DE CONVOLUACIÓN.

Si L-1{F(s)} = f(t) y L-1{G(s)} = g(t)entonces

Entonces obtenemos, L{ f(u) g(t – u) du} = e-stf(u) g(t – u) du dt = f(u) { e-st g(t – u) dt} du=

  fijando t – u = v obtenemos, dt = dv = f(u) { e-s(u + v) g(v) dv} du = { e-suf(u) du}. e-sv g(v) dv} O, L{ f(u) g(t – u) du} = F(s) G(s)

Invirtiendo ambos lados de la ecuación obtenemos, L-1{F(s) G(s)} = f(u) g(t – u) du L-1{F(s) G(s)} = f * g

Existe una cantidad amplia de problemas que pueden resolverse con la ayuda del teorema de convolución.

Uno de estos problemas se da aquí para hacer el concepto más claro. Usa el teorema de convolución para determinar L-1{1/ [s2 (s + 1)2]}

Sea F(s) = 1/ s2 Y G(s) = 1/ (s + 1)2entonces, f(t) = L-1{F(s)} = L-1(1/ s2) = t g(t) = L-1{G(s)} = L-1(1/ (s + 1)2) = e-t L-1(1/ s2) = t e-t  Por lo tanto, con la ayuda del teorema de convoluciónpodemos escribir,

                                                L-1{1/ [s2 (s + 1)2]} = f(u) g(t – u) du = u (t – u) e-(t – u) du = e-t [t u eudu - u2eu du] = e-t [t (u eu – eu) - (u2eu) + 2 u eu du] = e-t [t {(t – 1) et + 1} – t2 et + 2(ueu – eu) ]

                                                = e-t [t (t – 1) et + t + t2 et + 2(tet – et + 1)] = e-t [t2 et - tet+ t - t2 et + 2tet - 2et + 2] = e-t [tet+ t- 2et + 2] = t + tet– 2 + 2et

El teorema de convolución tiene amplias aplicaciones en la práctica. También se utiliza en la teoría de circuitos para calcular la respuesta al impulso de un circuito concreto.

  Aquí x(t) es la entrada del sistema, y(t) es la salida del sistema y h(t) es la respuesta al impulso del sistema. Por consiguiente, la salida del sistema calculado con la ayuda de la operación de convolución está dada por, y(t) = x(t) * h(t)

Aquí la función anterior está en el dominio de t, por lo tanto, los cálculos pueden ser algo crípticos, por esto, con el propósito de conveniencia en los cálculos, esta puede ser transformada en el dominio s. La operación de convolución en el dominio s se convierte en la operación de multiplicación. L{a(t) * b(t)} = A(s) B(s)

 

3.9 TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL.

Hasta ahora hemos estudiado la forma de determinar la transformada de Laplace de una función dada. Pero, como sabemos, existen varias operaciones que pueden realizarse en una determinada función. Una de las principales operaciones entre ellas es la integración. Como sabemos, la integración de una función nos da otra función. Por lo tanto, es esencial saber si la técnica de la transformada de Laplacepuede aplicarse a la integral de una función real. La respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, hasta cierto punto. La cláusula de “hasta cierto punto”, se añade aquí porque esto no es cierto para todas las integrales. Existen ciertos pre-requisitos que deben ser verdaderos para obtener la transformada de Laplace de la integral de la función real. La función real debe estar definida para la variable de tiempot, también la función debe ser definida de forma continua en el intervalo [0, ). Asimismo, el integral de esta función debe ser una función continua a trozos para el mismo intervalo, esto es, [0, ). Y, por último, ambas, la función real como el diferencial de la función real deben ser de orden exponencial cuando el valor de t tiende al infinito. Esto significa que deben existir dos números reales positivos M y , un número T tal que,

 

         

3.10 TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA.

Aquí el valor de t debe ser siempre mayor o igual que T.          Asumiendo que las condiciones anteriores son válidas para la función de entrada y L{f(t)} = F(s), entonces la transformada de Laplace de la integral de la función real puede darse como,

Aquí el valor de t debe ser siempre mayor o igual que T. Asumiendo que las condiciones anteriores son válidas para la función de entrada y L{f(t)} = F(s), entonces la transformada de Laplace de la integral de la función real puede darse como,

 Esto puede reorganizarse como,

En términos simples, podemos decir que para la función periódica f(t) conperíodo a, la transformada de Laplace es equivalente a la transformada de Laplace en un período

único de esafunción dividida por el término (1 - e-as). También existe una prueba del teorema indicado arriba. Dado que f(t) es una función periódica con período a, f(t + a) = f(t), f(t + 2a) = f(t) y así sucesivamente. Ahora, L{f(t)} = e-st f(t) dt = e-stf(t) dt + e-st f(t) dt + e-st f(t) dt + … Estableciendo t = (u + a) en la segunda integral, t = (u + 2a) en el tercer integral etc. Entonces obtenemos, = e-stf(t) dt + e-s(u + a) f(u + a) du + e-s(u + 2a) f(u + 2a) du + … = e-suf(u) du + e-su f(u + a) du + e-2sa e-su f(u) du + … = (1 + e-as + e-2as+ …) e-su f(u) du = (1 - e-as)−1 e-stf(t) dt [Dado que 1 + x + x2 + … = (1 – x)−1] L{f(t)} = [1/ (1 - e-as)] e-st f(t) dt Por consiguiente, podemos ver que para llevar a cabo la operación de transformación de Laplace a una función periódica necesitamos romper esa función en los sub-intervalos, lo cual depende de los intervalos para los cuales la función dada está definida.          La sumatoria de todas las integrales produce la transformada de Laplace para esa función. Sin embargo, es posible aplicar directamente el teorema discutido anteriormente con propósitos de conveniencia para la solución de problemas. Se provee un ejemplo ilustrando el uso de este teorema para hacer más claro los conceptos.

Muestra que si f(t + a) = -f(t), entonces, L{f(t)} = [1/ (1 + e-as)] e-st f(t) dt Dado quef(t + 2a) = f[(t + a) + a)] = -f(t + a) = -[-f(t)] = f(t) La función f(t) dada es una función periódica con período 2a. Ahora, utilizando el teorema para la transformada de Laplace de funciones periódicas con el período a reemplazado por 2a tenemos que, L{f(t)} = [1/ (1 - e-2as)] e-st f(t) dt = [1/ (1 - e-2as)] [ e-stf(t) dt + e-st f(t) dt]  Estableciendo t = (u + a) en la segunda integral, tenemos que L{f(t)} = [1/ (1 - e-2as)] [ e-st f(t) dt + e-s(u + a) f(u + a) du] = [1/ (1 - e-2as)] [ e-stf(t) dt – e-as e-su f(u) du] = [(1 - e-as)/ (1 - e-2as)] e-stf(t) dt L{f(t)} = [1/ (1 + e-as)] e-st f(t) dt

3.11transformada de Laplace de la función delta Dira

Una función delta de Dirac es una función especial cuyo valor es cero en todos los puntos, excepto en un punto, este es cuando el argumento de la función es igual a cero. Esto se denota como,

Cambiemos la función delta de Dirac por una constante, digamos c.

Entonces ahora la definición de esta función delta de Dirac desplazada es, (t – c) = 0, t <> c = , t = c Esto es sólo una pseudo definición de la función. Ahora bien, si derivamos el área de la función para los límites de integración (- , ), y resulta ser uno, esto es, (t – c) dt = 1 Se trata de una derivación importante y esta también nos da la noción de pseudo infinidad ,como en la definición función deltade Dirac desplazada. Aquí, la palabra pseudo se utiliza ya que pueden existir diferentes medidas del infinito mediante tomar un producto del infinito con un número entero. Para entenderlo, integremos el producto de la función delta de Dirac y un entero, digamos dos para los mismos límites de integración, esto es, (- , ). 2 (t – c) dt Uno podría suponer que la salida de la integración debería ser igual a dos, ya que, = 2 (t – c) dt = (2) (1) = 2 Es decir, si la función delta de Dirac se multiplica por dos, el infinito sería dos veces más grande que antes. Ahora, multiplicando la función delta de Dirac desplazada por alguna otra función, digamos f(t) y tomando la transformada de Laplace de esta, es decir, L{ (t – c) f(t)} En el caso de que uno desee determinar únicamente la transformada de Laplace de la función delta de Dirac desplazada, asumimos que el valor de f(t) es uno. Esto es, tenemos, e-st f(t) (t – c) dt  Como sabemos, el proceso de integración nos da el área de la función que está siendo integrada. Por lo tanto, primero dibujemos el área de las dos funciones para averiguar qué área estamos determinando realmente. Mientras lo hacemos, asume que f(t) es arbitrario. Por tanto, tenemos el gráfico de la función como,

 

 

 

 

 

 

Iginio Soto. (2015). Ecuaciones Diferenciales. Cd.Victoria: Itcv.

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Guillermo Vivaldo Vázquez. (2015). 2015 . 30/06/22, de googleSite Sitio web: https://sites.google.com/site/ecuacionesdiferenciales2015/parcial-2